MATHEMATIK

 
INTELLEKTUELLER FREIZEITSPASS

 

 

 

 

 

FERMAT ANSCHAULICH

 

 

 

 

Das faszinierende an Fermats Gleichung ist, dass auch

Laien die Grundidee dahinter gut verstehen können.

 

 

Fermats Große Vermutung im 17. Jahrhundert

 

Ap  +  Bp  ≠  Cp   ( A,B,C,p positive ganze Zahlen, p ≥ 3 )

 

 

 

#byAMgB

Mit p=2 :   A2 + B2 = C2   entsteht die berühmte Formel

des Satzes des Pythagoras. Für diese Formel sind seit

der Antike unzählige ganzzahlige Lösungen bekannt.

Die Pythagoräischen Zahlentripel.

 

Das bekannteste Zahlentripel ist:

 

A = 3   A2 = 32 = 9

B = 4   B2 = 42 = 16

C = 5   C2 = 52 = 25

   9         16                      25

 

 

Ein weiteres ganzzahliges Zahlentripel ist:

 

A = 5     A2 = 52 = 25

B = 12   B2 = 122 = 144

C = 13   C2 = 132 = 169

    25                  144                                    169

 

 

Ein weiteres ganzzahliges Zahlentripel ist:

 

A = 8    A2 = 82 = 64

B = 15   B2 = 152 = 225

C = 17   C2 = 172 = 289

       64                        225                                          289

 

 

. . .   und von diesen ganzzahligen Zahlentripel gibt es

unzählige weitere !

 

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Nimmt man die Gleichung und ändert die Potenz zu  

 

p = 3 :     A3 + B3 = C3

 

p = 4 :     A4 + B4 = C4

 

p = 5 :     A5 + B5 = C5

 

usw.

 

dann soll es kein einziges ganzzahliges Zahlentripel

geben, dass im unendlichen Zahlenraum auch nur

eine dieser Gleichungen einmal erfüllt ???

 

Genau das vermutete Pierre de Fermat 1640 und schrieb an den Rand seines mathematischen Lehrbuches sinngemäß

in lateinischer Sprache:   " Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier

zu schmal, um ihn zu fassen. "

 

Kürzer gesagt:

Pierre de Fermat behauptete, es gibt keine Analogie zum

Satz des Pythagoras für ganzzahlige Potenzen höher als 2.

 

Mathematisch in Formeln ausgedrückt:

 

p = 3 :     A3 + B3   ≠   C3

 

p = 4 :     A4 + B4   ≠   C4

 

p = 5 :     A5 + B5   ≠   C5

 

usw.

 

das soll auch gelten für

 

p = 123 :     A123 + B123   ≠   C123

 

oder

 

p = 4567 :     A4567 + B4567   ≠   C4567

 

oder

 

p = 987654321 :     A987654321 + B987654321   ≠   C987654321

 

und jede beliebige weitere größere ganzzahlige Potenz !!!

 

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Manchmal ist es ganz knapp:

 

A = 6   A3 = 63 = 216

B = 8   B3 = 83 = 512

C = 9   C3 = 93 = 729

     216                      512                                           ( 728 )

 

Die beiden Potenzen   63 = 216   und   83 = 512

ergeben in Summe   216 + 512 = 728

Die Potenz   93 = 729  hat nur den minimalen

Unterschied von   1   zu dieser Potenzsumme !

         729                                          512                      216         + 1

 

Anders ausgedrückt:   Zerlegt man die Potenz   93 = 729

in die Potenzen   83 = 512   und   63 = 216   so bleibt nur

ein minimaler Rest von   1   übrig !

 

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Bis zum heutigen Tag wurde kein einziges ganzzahliges

Zahlentripel gefunden, dass eine der Gleichungen mit p ≥ 3

erfüllen würde   ( und ein einziges würde ja ausreichen, um

die Vermutung Fermats für immer zu widerlegen ! )

Das bedeutet in der Mathematik aber noch nichts.

Schließlich könnte es ja im unendlichen Zahlenraum

doch noch irgendwo drei Zahlen geben, die eine der

Gleichungen erfüllen. Um sicher zu sein muss man

beweisen dass es keine ganzzahligen Lösungen geben

kann. Denn ohne Beweis kann in der Mathematik keine

für alle Zeiten gültige sichere Aussage getroffen werden.

 

Der von Pierre de Fermat angekündigte "wunderbare

Beweis" wurde weder zu seinen Lebzeiten noch nach

seinem Tode je gefunden. Was nicht zwangläufig

bedeutet, dass Fermat ihn nicht hatte. Vielleicht hat er

ihn nur nie schriftlich notiert. Oder er hat ihn schriftlich

notiert und trotzdem ist er bis heute nicht gefunden worden.

 

 

Im Jahr 1997 präsentierte der englische Mathematiker

Andrew Wiles einen vollständigen Beweis.

 

Erstmals wurde damit ein Nachweis erbracht, dass die

Formel des Pierre de Fermat für alle ganzzahligen

Potenzen  p ≠ 3   gültig ist !

 

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Dieser Beweis ist allerdings 100 Seiten lang, kann im Grunde

nur von Mathematikern nachvollzogen werden und ist leider

wenig anschaulich.

 

 

#   Mich treibt seitdem die Frage um:

 

Wie könnte ein anschaulicher Beweis aussehen ?

 

 

Motivation für einen anschaulichen Beweis:

 

" Das Problem zu erkennen, ist wichtiger,

als die Lösung zu erkennen,
denn die genaue Darstellung des Problems
führt zur Lösung. "   [ Albert Einstein ]

 

 

Was es dabei zu entdecken gibt, kann auf der Seite

Systematik von Potenz-Differenzen nachgelesen werden . . .