MATHEMATIK

 
INTELLEKTUELLER FREIZEITSPASS

 

 

 

 

 

FERMAT BEWEISEN

 

 

 

 

Das faszinierende an Fermats Gleichung ist, dass auch Laien

die Grundidee dahinter gut verstehen können. Und trotzdem gelang es über Jahrhunderte keiner Mathematikerin und keinem Mathematiker einen vollständigen Beweis für alle ganzzahligen Exponenten größer gleich 3 zu formulieren.

 

 

 

Fermats Große Vermutung im 17. Jahrhundert

 

Ap  +  Bp  ≠  Cp   ( A,B,C,p positive ganze Zahlen, p ≥ 3 )

 

>>> anschauliche Erklärung zur Formel

 

 

Pierre de Fermat beschäftigte sich in seiner Freizeit

gern mit Mathematik. Als er sich Gedanken zu den

Diophantischen Gleichungen machte, zu denen auch

die berühmte Formel   a2 + b2 = c2   gehört, versuchte

er ganze Zahlen zu finden, welche die ähnlichen

Gleichungen   a3 + b3 = c3   oder   a4 + b4 = c4   oder

jede weitere Gleichung   ap + bp = cp   erfüllten.

 

Er fand keine. Das bedeutet in der Mathematik aber

noch nichts. Schließlich könnte es ja im unendlichen

Zahlenraum irgendwo Zahlen geben, die die Gleichung

doch erfüllen. Um sicher zu sein müsste man beweisen.

dass es keine ganzzahligen Lösungen geben kann.

 

Pierre de Fermat vermutete im Jahr 1640, dass im

Zahlenraum der positiven ganzen Zahlen kein einziges Zahlentripel existiert, welches diese Gleichung für ganz-

zahlige Potenzen p ≥ 3 lösen kann.

 

Kürzer gesagt:

Es gibt keine Analogie zum Satz des Pythagoras

für ganzzahlige Potenzen höher als 2.

 

>>> anschauliche Erklärung zur Formel

 

 

Und Pierre de Fermat schrieb an den Rand des

Mathematikbuches mit den Diophantischen Gleichungen:

 

“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est divi-dere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

 

Sinngemäß übersetzt:

 

„Es ist jedoch nicht möglich, einen Kubus in 2 Kuben, oder ein Biquadrat in 2 Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in 2 Potenzen mit ebendemselben Exponenten zu zerlegen: Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen."

 

Er wusste, dass ohne Beweis in der Mathematik

keine sichere Aussage getroffen werden kann.

Und er hatte   "einen wahrhaft wunderbaren Beweis

entdeckt"   doch leider wurden nie schriftliche

Aufzeichnungen dazu gefunden.

 

Viele berühmte Mathematiker der folgenden Jahrhunderte fühlten sich angestachelt und beschäftigten sich mit Versuchen eines allgemeingültigen Beweises, konnten

aber nur Beweise für einzelne Exponenten finden

 

Bernard Frénicle de Bessy

( 1676 für p=4)

 

Leonhard Euler

( 1738 für p=4  |  1770 für p=3 )

 

Gustav Lejeune Dirichlet und Adrien-Marie Legendre

( 1825 für p=5 )

 

Der Arzt und Mathematiker Paul Friedrich Wolfskehl

beschäftigte sich zu Lebzeiten ebenfalls mit dem Beweis

zu Fermats Vermutung und stiftete 100.000 Goldmark

als Preis für denjenigen, der einen allgemeingültigen

Beweis der Fermatschen Vermutung erbringt oder ein

Gegenbeispiel nennen kann.

 

Die Göttinger Akademie der Wissenschaften rief 1908

offiziell den Wolfskehlpreis mit einer Laufzeit von

100 Jahren aus.

 

 

Im Jahr 1997 präsentierte der englische Mathematiker

Andrew Wiles einen vollständigen Beweis.

 

 

Dieser Beweis ist allerdings 100 Seiten lang, kann im Grunde

nur von Mathematikern nachvollzogen werden und ist

wenig anschaulich.

 

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#   Mich treibt seitdem die Frage um:

 

Wie könnte ein anschaulicher Beweis aussehen ?

 

 

 

#   Motivation für einen anschaulichen Beweis:

 

" Das Problem zu erkennen, ist wichtiger,

als die Lösung zu erkennen,
denn die genaue Darstellung des Problems
führt zur Lösung. "   [ Albert Einstein ]

 

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Was man dabei entdecken kann:

 

~ es gibt eine Systematik für das Wachsum von Potenzen

 

~ sieht man sich die Differenzen von ganzzahligen Potenzen genauer an, erkennt man wiederkehrende Strukturen

 

~ alle direkten Differenzen von Potenzen sind ungerade!

 

~ es gibt eine Systematik für das Wachsum der Differenzen

 

~ die p-te Differenz entspricht immer p! (p-Fakultät)

 

 

 

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